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八位“Booth二位乘算法”乘法器

目录

八位“Booth二位乘算法”乘法器

原理

补码乘法器

之前介绍了几篇无符号乘法器或加法器的写法,当然,稍作修改也就可以改成符合有符号数的乘法器或加法器。

但是呢,我们之前写的乘法器或加法器,其实都是默认是正数来写的,而且是以正数的原码来写的,所以上面说稍作修改也就可以成为有符号数的乘法器或加法器,其实就是对我们以为的原码进行取补码,再进行乘法或加法的运算。

随着计算机硬件部件的升级,处理器技术的发展,现代处理器中的定点数(小数点位置固定)都是按照补码形式来存储的。

所以在之前写的无符号加法器中,只要利用:

\[X_补+Y_补=[X+Y]_补 \]

就可以轻易将原先的加法器改写成有符号加法器——只要对结果再取一次补码即可。

但是乘法器呢?稍作学习可以知道,补码的乘法是这样的:

\[X*Y_补=[X*Y]_补 \]

我们再考虑一下之前所说的:在现代处理器中的定点数都是按照补码形式来存储的

所以我们要想得到两个数的乘法结果,首先应该知道被乘数的原码和补码,再对最终结果取补码,即可得到我们期望的乘法结果。

那么如何求“X*Y补”呢?在处理器中,一个二进制数Y补形如y7y6y5y4y3y2y1y0,也就是表示一个数的补码,那么它的原码是多少呢?

补码的计算方法,除了“首位不变,余位取反再加一”的方式,还有一种就是“用溢出条件来减这个数”,在我们之前第一节课说二进制的时候,以钟表为例——“十二进制”,得到结论——“4-8的补码”。

我们用第二种取补码的方式:-8的补码=12-8=4(这里没有考虑符号问题,只是求了补码的值)

所以考虑一下符号的话,-8的补码=8-12=-4

同理:

十进制下,-4的补码=4-10=-6

二进制下,-101补码=1101补码=101-1000=-011=1011

这样解决求补码的方式在接下来的计算方面就更方便了,至于正数嘛,不变就好了。

回到上面的问题,一个二进制数Y补形如y7y6y5y4y3y2y1y0它的原码是多少呢?根据:

\[[X_补]_补=X \]

Y补的原码Y应该为:

\[Y=(y_7*2^7+y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)-1*2^8 \]

稍微化简一下:

\[Y=-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0) \]

所以我们如果想求X*Y,可以先求其补码:

\[[X*Y]_补=[X*(-y_7*2^7)+X*(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)]_补 \]

根据补码加法“X补+Y补=[X+Y]补”再稍微化简一下:

\[[X*Y]_补=-y_7*[X*2^7]_补+y_6*[X*2^6]_补+y_5*[X*2^5]_补+……+y_0*[X*2^0]_补 \]

再引入一个定理:

\[[X*2^n]_补=X_补*2^n \]

所以上式又可以换一种写法:

\[[X*Y]_补=X_补*(-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0))=Y*X_补 \]

哦这不就是上面介绍过的补码乘法嘛:

\[[X*Y]_补=Y*X_补=X*Y_补 \]

如果令一个数Y1补=y6y6y5y4y3y2y1y0,去掉了首位,那么上式是不是可以理解为:

\[[X*Y]_补=X_补*Y1_补-y_7*X_补*2^7 \]

其中的Y1补不就刚好是Y补的后7位嘛?也就是说一个乘法可以分为两部分理解:首位的乘法和其他位的乘法。首位的乘法产生的部分积符号是减,其他位的部分积符号为加

经过上面的推导大家应该会对补码乘法的原理有了一定的概念,我们来把它写成竖式的形式,以(-6)x(-7)为例,原码乘应该是1110x1111,在计算机中是以补码的形式存储,所以补码乘是1010x1001,代入公式,令X补=1010Y补=1001,其运算过程如下:

这里可能有一些迷惑的是:为什么第一步运算得到的结果是11111010?为什么要在前面填充1111

这也就是所谓的符号填充,我们之前的设计中都没有涉及到符号位,所以默认都是填充0,现在遇到了负数问题,也就需要填充符号了,但是这样看起来是不是一点都觉得很奇怪?如果没办法理解的话,我建议你可以尝试对它求补码,看看是不是可以保持首位符号位不变,余位取反加一。惊叹于设计师的机智。

补码乘法器的原理讲明白了,具体电路实现的话,大家可以尝试一下,本节重点不在于此。

Booth一位乘

在上面已经讨论了补码乘法器的原理,那么什么是Booth乘法器呢?Booth乘法器是由英国的Booth夫妇提出的,并没有什么特殊含义,所以我们直接快进到内容。

经过补码乘法器的推导:

\[[X*Y]_补=X_补*(-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)) \]

参考中学数学:

\[2^n=2*2^{n-1} \]

其核心计算思想是括号里的形式,也就是Y补的原码Y所以我们对括号里的内容再进行分解合并,也就是对Y分解合并。先分解:

\[Y=-y_7*2^7+((2-1)y_6*2^6+(2-1)y_5*2^5+……+(2-1)y_0*2^0) \]

这样应该挺直观了吧:

\[Y=-y_7*2^7+(y_6*2^7-y_6*2^6)+(y_5*2^6-y_5*2^5)+……+(y_0*2^1-y_0*2^0) \]

再合并:

\[Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(0-y_0)*2^0 \]

最后有个0-y0的项,看起来有点不合群,所以令:

\[y_{-1}=0 \]

代入上式,即:

\[Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(y_{-1}-y_0)*2^0 \]

这也就是Booth一位乘算法的原理。其优点就在于不用再像补码乘法器那样,不需要专门对最后一次部分积采用补码减法

根据上式,还可以列出Booth一位乘的规则:

y(i-1) y(i) y(i-1) – y(i) 操作
0 0 0 加0
0 1 -1 X补
1 0 1 X补
1 1 0 加0

再举个例子来计算,仍以(-6)x(-7)为例,补码乘是1010x1001,列出竖式:

可是这里为什么还是有减法呢?和常规的补码乘法器相比,简直是老和尚抹洗头膏,大可不必。甚至由于每次判断两位数字,增大了电路的复杂度,那么为什么booth乘法器如此好用呢?

其实booth一位乘算法并不常用,但是booth二位乘就不一样了,通过增加一定的空间复杂度,将运算周期减为一半!

Booth二位乘

还是根据补码乘法器,我们将Y的表达式再进行变换——先分解:

\[Y=-2*y_7*2^6+y_6*2^6+(y_5*2^6-2*y_5*2^4)+……+y_0*2^0+y_{-1}*2^0 \]

再整合:

\[Y=(y_5+y_6-2*y_7)*2^6+(y_3+y_4-2*y_5)*2^4)+……+(y_{-1}+y_0-2*y_1)*2^0 \]

好了Booth二位乘算法也完事了,类比于Booth一位乘,我们也可以列出Booth二位乘的规则:

y(i-1) y(i) y(i+1) y(i-1) + y(i) – 2*y(i+1) 操作
0 0 0 0 0
0 1 0 1 X补
1 0 0 1 X补
1 1 0 2 2*X补,即X补<<1
0 0 1 -2 2*X补,即X补<<1
0 1 1 -1 X补
1 0 1 -1 X补
1 1 1 0 0

再举个例子来计算,仍以(-6)x(-7)为例,补码乘是1010x1001,列出竖式:

运算周期减半了!

好了,那Booth乘法器有没有三位乘呢?可以有,但是三位的时候就会出现加3*X补2*X补可以通过左移一位得到,而3*X补就有点麻烦了,所以不再介绍,至于四位乘、八位乘,想挑战的同学可以挑战一下。

设计思路

减法变加法

首先我们来解决一个问题,如何把减法消除?我们知道,减去一个数,等于加上这个数的相反数;减去一个数,也等于加上这个数的补码。这个过程中的减数也默认是正数,因为正数的补码还是正数,只有正数前面加一个符号再去补码才有用。那么如上面竖式所写,减去一个负补码,就应该等于加上“这个负补码的补码的相反数”,比如上面的补码乘法器竖式,就应该变换成如下形式:

再说明一下吧:11010,就相当于加11010的补码的相反数,即加10110的相反数,即00110

所以booth一位乘算法的示例应该变成这样:

booth二位乘算法的示例应该变成这样:

vivado特性

考虑到上述减法变加法的操作后,容易总结出:减法变加法,其实就是对补码的符号位取反,也就是对减数每一位取反后再加一。

再回读一边上述的理论部分,可能你会发现,在乘法运算中,只用到了补码“负补码”两种概念的数字。而在vivado中(相当于在处理器中),数字默认是以补码形式存储的,即输入的乘数默认就是补码形式,这样只需要再求出“负补码”即可。设X[3:0]表示一个乘数,默认是以补码形式存储,则其“负补码”:

\[X_{负补码}=!X + 1 \]

至于其原码:

\[X_{原码}=(X[3],!X[2:0]) + 1 \]

其实根本用不着。

有了以上知识储备,我们就可以写代码啦~

设计文件

//由于实力不够,没能设计成改一个数字变一个规模的程序
`define size 8
module mul_booth_signed(
    input wire [`size - 1 : 0] mul1,mul2,
    input clk,
    input wire [2:0] clk_cnt,//运算节拍,相当于状态机了,8位的话每次运算有4个拍
    output wire [2*`size - 1 : 0] res
    );

    //由于传值默认就是补码,所以只需要再计算“负补码”即可
    wire [`size - 1 : 0] bmul1,bmul2;
    assign bmul1 = (~mul1 + 1'b1) ;
    assign bmul2 = (~mul2 + 1'b1) ;//其实乘数2的负补码也没用到。
	//其实可以把状态机的开始和结束状态都写出来,我懒得写了,同学们可以尝试一下啊~
    parameter   zeroone       =   3'b00,
                twothree      =   3'b001,
                fourfive      =   3'b010,
                sixseven      =   3'b011;
    //y(i-1),y(i),y(i+1)三个数的判断寄存器,由于有多种情况,也可以看成状态机(也可以改写成状态机形式,大家自己试试吧)
    reg [2:0] temp;

    //部分积
    reg [2*`size-1 : 0] A;
	//每个节拍下把相应位置的数据传给temp寄存器
    always @ (posedge clk) begin
        case(clk_cnt)
            zeroone  : temp <= {mul2[1:0],1'b0};
            twothree : temp <= mul2[3:1];
            fourfive : temp <= mul2[5:3];
            sixseven : temp <= mul2[7:5];
            default : temp <= 0;
        endcase
    end
	
    always @(posedge clk) begin
        if (clk_cnt == 3'b100) begin//如果节拍到4就让部分积归0,此时已经完成一次计算了
            A <= 0;
        end else case (temp)
            3'b000,3'b111 :   begin//这些是从高位到低位的判断,别看反了噢
                A <= A + 0;
            end
            3'b001,3'b010 : begin//加法操作使用补码即可,倍数利用左移解决
                A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1));
            end
            3'b011 : begin
                A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
            end
            3'b100: begin//减法操作利用“负补码”改成加法操作,倍数利用左移解决
                A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);
            end
            3'b101,3'b110 : begin
                A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1));
            end
            default: A <= 0;
        endcase
    end
	//当节拍到4的时候写入结果寄存器。
    assign res = (clk_cnt == 3'b100) ? A : 0;
endmodule

这是一个八位Booth二位乘算法的乘法器,至于Booth一位和Booth四位的乘法器,大家各自尝试就好。

此外在这个文件当中,我用到了clk_cnt这个寄存器,大家是不是以为我会多用一个模块用来产生clk_cnt的波形?

身为一个懒人,我直接在测试文件里写了吼吼吼~

综合电路

37个元件,36个IO口,318根线

测试文件

`timescale 1ns / 1ps
module mul_tb(
    );
    reg [7:0] mul1,mul2;
    wire [15:0] res;
    reg clk;
    wire clk_en;
    reg [2:0] clk_cnt;

    initial begin
        mul1 <= -8'd7;
        mul2 <= -8'd3;
        clk <= 0;
        clk_cnt <= 3'b0;
    end

    always # 10 clk = ~clk;
	//clk_cnt发生器,懒人版
    always @(posedge clk) begin
        clk_cnt <= clk_cnt + 1'b1;
        if (clk_cnt == 3'b100)
            clk_cnt <= 3'b00;
    end
	//每次运算结束后,让乘数变化,以便产生不同的数据用以观察
    assign clk_en = (clk_cnt == 3'b100) ? 1'b1 : 1'b0;
    always @ (posedge clk_en) begin
        mul2 <= mul2 + 1'b1;
    end

    mul_booth_signed try(.mul1(mul1),.mul2(mul2),.res(res),.clk(clk),.clk_cnt(clk_cnt));
endmodule

仿真波形

将其改成有符号十进制数形式显示,可以验证电路设计正确。

赞(0) 我这么幸苦,不打个赏再走?
本作品采用CC BY-NC-SA 4.0进行许可:小李子的blog » 八位“Booth二位乘算法”乘法器

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